CẤP SỐ CỘNG

1. Định nghĩa lại : CSC là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) , trong đó , kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi gọi là công sai
Gọi d là công sai , ta có :

un+1 = un + d

Trong đó : n

và d

Ví dụ : a , a + d , a + 2d , a + 3d , a + 4d , ....., a + (n-1)d (*)
2. Số hạng tổng quát : Bây giờ trong một dãy CSC như sau :

4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , ...........

Ta thấy số hạng đầu tiên là : 4 ; số hạng thứ năm là : 12 ; nhưng nếu ai đó hỏi bạn số hạng thứ một trăm là số : ?????? . Vì thế bạn cần tìm công thức số hạng tổng quát để giải quyết những loại bài tập như trên .
Sau đây anh xin giới thiệu phương pháp truy hồi dùng để tìm số hạng tổng quát rất hay , bây giờ em hãy nhìn vào chuỗi (*) :
- Số hạng thứ 2 ( u2 ) = số hạng thứ nhất + 1d
- Số hạng thứ 3 ( u3 ) = số hạng thứ nhất + 2d
- Số hạng thứ 4 ( u4 ) = số hạng thứ nhất + 3d
-----------------------------------------------------------------------------
Đấy là số hạng thứ 4 , nhưng nếu tôi hỏi bạn số hạng thứ n (gọi là số hạng tổng quát) thì bạn phải biết cách bắt chước nhé (bạn hãy xem tôi tô những con số có màu đỏ là bạn hiểu ngay thôi) . Tôi nhắc lại là bạn biết quy tắc liền :

2 thì1
3 thì 2
4 thì 3

Vì thế : n thì (n-1)
Vậy số hạng thứ n ( un ) = số hạng thứ nhất + (n-1)d

un = u1 + (n-1)d

Chú ý : Đối với phương pháp truy hồi thì sau khi tìm được số hạng tổng quát thì ta phải chứng minh là đúng bằng phương quy nạp (đây xem như là bài tập để em ôn lại kiến thức cũ nhé) - Mọi thắc mắc để lại lời nhắn cho anh
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng :
Kể từ số hạng thứ hai thì trong 3 số liên tiếp , ví dụ :

5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15
Trong dãy số hữu hạn trên thì tôi chọn : 9 , 11 , 13 . Tôi thấy : [9(đầu) + 13(cuối)] : 2 = 11(giữa)
Nó có dáng dấp của trung bình cộng lớp 5 đúng không nào ?
Qua đó , ta có kết quả : là trong 3 số liên tiếp kể từ số hạng thứ 2 ta được :

u n+1 = 1/2 ( u n + u n+2 )

Chú ý : Ta cũng có thể chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp nhé

4. Tổng của n số hạng đầu tiên của một CSC
Sn = a , a + d , a + 2d , a + 3d , a + 4d , ....., a + (n-1)d

Sn = a + (n-1)d , a + (n - 2)d , ................................., a
Cộng 2 vế ta được :

2Sn = n. [2a + (n - 1)d]

hay : Sn = 1/2 (n. [2a + (n - 1)d])